integral

PENGERTIAN INTEGRAL

Integral (anti turunan) suatu fungsi adalah operasi kebalikan dari differensial  dari fungsi tersebut. Differensial  mencari turunan fungsi  sedangkan integral mencari asal dari fungsi yan diturunkan.

Bentuk umum dari integral yaitu :

Dimana :

 lambang integral yang menyatakan operasi anti turunan (integral)

f(x) : fungsi integran, fungsi yang dicari antiturunannya (Integral)

F (x)   : fungsi integral umum yang bersifat F’(x) = f (x)

C     : konstanta

Integral dapat digolongkan menjadi 2 yaitu :

      Integral tak tentu (tanpa batas)

      Integral tentu (ada batas)

1)      Integral tak tentu

Integral tak tentu atau antiderivatif adalah suatu bentuk operasi pengintegralan suatu fungsi yang menghasilkan suatu fungsi baru. fungsi ini belum memiliki nilai pasti (berupa variabel) sehingga cara pengintegralan yang menghasilkan fungsi tak tentu ini disebut integral tak tentu.

Bentuk umum integral tak tentu

Integral tak tentu ada 2 macam yaitu integral tak tentu fungsi aljabar dan integral tak tentu fungsi trigonometri:

1.      Integral tak tentu fungsi aljabar

Rumus rumus integral tak tentu fungsi aljabar yaitu :

a.     

b.     

c.        , n

d.       , n

e.     

f.       

Contoh soal

      Tentukan anti turunan dari fungsi-fungsi berikut ini :

      F(x) =  X⁵

      F(x) = 5x

      F(x) = 3x² + 10x - 7

      F(x) = 5y³-18)⁷ 15y²

Cara penyelesaian :

      F(x) =  x^5x

Maka,

   + C

=  + C

=  + C

      F(x) = 5x

Maka,

  =     + C

=  + C

      F(x) = 3x² + 10x – 7

Maka,

=    

=   +  -

      F(y) = 5y³-18)⁷ 15y

Maka,

⁷ =

Cara peny :

Misalkan :

U =

du =

jadi,

   + C

=      + C

  ⁸ + C

2.      Integral tak tentu fungsi Trigonometri

Integral Trigonometri merupakan hasil kebalikan dari turunan trigonometri. Sebelum kita mencoba mengingat rumus-rumus integral triogonometri maka sebaiknya kita ingat dulu turunan trigonometri. Turunan trigonometri bisa kita tuliskan sebagai berikut
y = sin x maka y' = cos x
y = cos x maka y' = - sin x
y = tan x maka y' = sec² x
y = cot x maka y' = -csc² x
y = sec x maka y' = sec x tan x
y = csc x maka y' = -csc x cot x

Dengan demikian jika rumus-rumus ini kita balik akan menjadi

a.     

b.     

c.      

d.     

e.     

f.       

g.     

h.     

i.       

j.       

k.        =

l.        -

Contoh soal :

     

     

     

Penyelesaian :

     

Atau dapat diselesaikan dengan metode subtitusi

Misalkan :  u =  2x

Du = 2 dx

 du = dx

Jadi ,

=

=  -

=-

=-  

       

= 

       

Dapat pula dikerjakan dengan metode subtitusi

Misalkan, u = cos x

Du = - sin x dx

Jadi,

= -

=-

=-  + C

B. Penggunaan integral tak tentu

1)      Menentukan Fungsi F(x) jika f(x) dan f(a) diketahui

Jika  f(x) diketahui, maka dengan mudah dapat kita tentukan F(x) dengan cara mengintegralkan f(x) tersebut.

F(x) =

Hasil pengintegralan  F(x) tersebut memuat bilangan konstanta C sembarang. Artinya nilai C bisa berapa saja. Jika F(a) diketahui, maka nilai C dapat ditentukan secara pasti. Agar lebih jelas simak contoh berikut ini :

      Diketahui f(x) = dan F(1) = -1 tentukan F(x)!

Jawaban :

      F(x) =  dx

=

      F(1) =  = -1

=                       1 + 2 - 3 +4 + C            =  -1

C            = -5

Jadi,

F(x) =   

2)      Menentukan Persamaan kurva jika Gradien dan titik dilalui Diketahui

Contoh :

Tentukan persamaan kurva yang memiliki gradien garis singgung dititik (x,y) dengan rumus  dan kurva melalui titik (-2,5) !

Jawaban :

F(x) =

=

Karena melalui titik (-2,5), maka :

F(-2)   = 5

F(-2)  =  = 5

=  = 5

6 + 8 + C                        = 5

C                 = -9

Jadi, F(x)  =

Atau

Persamaan kurva ,

Y   =