Subscribe

RSS Feed (xml)

Powered By

Blogger Template From:
Free Blogger Skins

Powered by Blogger

Kamis, 08 Desember 2011

makalah aljabarku




BAB I
PENDAHULUAN
A.     Latar Belakang
Pada saat pertama kali ilmu vektor  sekitar abad ke-17, hanya dikenal vektor vektor R2 dan R3 saja, tetapi dalam perkembangannya yakni menjelang abad ke-19, ternyata didapatkan permasalahan lebih kompleks sehingga dikembangkan vektor vektor di ruang berdimensi 4,5 atau secara umum merupakan vektor vektor di Rn. Pada saat itu dikenal bahwa kaudrapel bilangan () dapat ditinjau sebagai titik pada ruang berdimensi 4, () kuinupel dapat ditinjau sebagai titik pada ruang berdimensi 5, dan seterusnya. Secara geometri memang kita hanya dapat  menggambarkan vektor vektor di R3. Untuk vektor vektor di R4 dan seterusnya belum bisa digambarkan secara geometris, tetapi dasar yang digunakan seperti operasi operasi vektor masih sama dengan operasi vektor pada R2  dan R3. Orang yang pertama kali mempelajari vektor Rn adalah Euclides sehingga vektor vektor yang berada di Rn dikenal sebagai vektor Euclides, sedangkan ruang vektornya  disebut ruang-n Euclides.
Pembahasan tentang ruang-ruang vektor akan menggenaralisasi konsep vektor lebih lanjut. Pada pembahasan ini kita akan menyusun satu himpunan aksioma yang disebut sebagai “vektor”. Vektor vektor yang digeneralisasi ini antara lain berbagai matriks dan fungsi. Pembahasan ini akan memberikan suatu cara yang sangat berguna untuk mengembangkan visualisasi geometrik kita dalam berbagai variasi soal matematika, dimana intiusi geometrik tidak dapat digunakan. Kita dapat memvisualisasikan vektor vektor pada R2 dan R3 sebagai anak panah, sehingga kita dapat menggambar atau menyusun gambar gambar untuk membantu menyelesaikan soal. Karena aksioma aksioma yang digunakan untuk mendefinisikan vektor vektor jenis baru ini didasarkan pada sifat sifat dari vektor vektor pada R2 dan R3, maka vektor vektor ini akan memiliki banyak sifat yab=ng telah kita ketahui. Oleh karena itu pembahasan makalah membahas tentang vektor dalam dimensi-n euclides agar kita dapat mengetahui bagaimana vektor yang seperti itu.

B.      Tujuan
Adapun tujuan kami dalam pembuatan makalah kami yaitu :
1.      Mahasiswa dapat mengetahui tentang vektor vektor dalam ruang berdimensi-n.
2.      Mahasiswa dapat mengetahui sifat sifat operasi vektor dalam ruang berdimensi-n.
3.      Mahasiswa dapat mengetahui tentang ruang berdimensi-n euclides.
4.      Mahasiswa dapat mengetahui norma dan jarak dalam ruang berdimensi-n euclies
5.      Mahasiswa dapat mengetahui tentang keortogonalan
6.      Mahasiswa dapat mengetahui tentang notasi-notasi alternatif untuk vektor-vektor dalam Rn
7.      Mahasiswa dapat mengetahui rumus matriks untuk perkalian titik
8.      Mahasiswa dapat mengetahui hubungan perkalian matriks dengan perkalian titik.  










                                     
BAB II
PEMBAHASAN
A.     Vektor-Vektor Dalam Ruang Berdimensi-n
Definisi
“Bila n adalah bilangan bulat positif, maka ganda-n berurut adalah sederet n bilangan real (). Himpunan semua ganda-n berurut disebut ruang berdimensi-n dan dinyatakan dengan . “ (Dasar-dasar aljabar linear jilid 1, 233)
            Contoh :
*      Untuk R1 contohnya adalah bilangan 2,-2,0...
*      Untuk R2 contohnya adalah bilangan (2,1), (1,-1), (-1,6) (0,0)...
*      Untuk R3 contohnya adalah bilangan (2,1,-4), (3,-5,7)...
*      Untuk R4 contohnya adalah bilangan (2,1,2,6), (3,-1,2,9)...
Untuk R1 sampai R 3 dapat digambarkan secara geometri, sedangkan n > 3 sulit dibayangkan dan  bahkan tidak mungkin untuk digambarkan karena keterbatasan dari ruang.
Definisi
“Dua vektor =  dan = di Rn disebut sama jika
 Penjumlahan dua vektor , di Rn didefinisikan sebagai berikut :
  =
                     
Perkalian sebuah skalar k  dengan sebuah vektor di Rn didefinisikan sebagai :
 =
Vektor 0 dalam Rn adalah semua komponennya adalah nol, yaitu
 = (0,0,0,...0)
Jika  di Rn adalah sebuah vektor sembarang, maka :
=
(Aljabar linear dasar, 81)
B.      Sifat-Sifat Operasi Vektor Dalam Ruang Berdimensi-n
Teorema 2.1
Jika  =  =dan  = adalah vektor-vektor
pada Rn dan k serta l adalah skalar, maka :
1.      u + v = v + u
2.      u + (v + w) = (u + v) + w
3.      0 + u = u + 0 = u
4.      u + (-u) = (-u) + u = 0
5.      k(lu)=(kl)u
6.      k(u+v) = ku + kv
7.      (k + l)u = ku + lu
8.      1.u = u
(Aljabar Linear & Matriks, 130-131)
Teorema diatas memungkinkan kita untuk memanipulasi vektor dalam Rn tanpa menyatakan vektor-vektor tersebut dalam bentuk komponen-komponen. Misalnya, untuk menyelesaikan persamaan vektor x + u = v untuk x, kita dapat menambahkan –u pada kedua ruas dan melakukan hal berikut ini:
(x + u) +(-u) = v +(-u)
x + (u-u) = v-u
      x + 0 = v-u
            x = v-u

C.      Ruang Berdimensi-n Euclides
Definisi
“ jika =  dan  = di Rn, maka perkalian dalam Euclid (perkalian titik) vektor  dan  didefinisikan sebagai berikut.
.  =

Catatan : perkalian dalam Euclid vektor  dan   sering juga disimbolkan dengan  sehingga .  =
 (Aljabar Linear Dasar, 82)
Contoh
Jika  = (-1,2,-1,0,1) dan  = (1,1,1,2,2) di R5, maka :
.  = (-1,2,-1,0,1) . ( 1,1,1,2,2)
         = (-1)(1) + (2)(1) + (-1)(1) + (0)(2) + (1)(2)
         =     -1 + 2+ -1 + 0 +2   
         = 2
            Ada  empat sifat aritmetika utama yang dari hasil kali dalam dalam Euclides  didaftarkan dalam teorem berikut :
Teorema 2.2
“ jika u,v, dan w  adalah vektor pada Rn dan k adalah sembarang skalar maka :
1.      u . v = v.u
2.      (u + v)w = u.w + v.u
3.      (ku).v = k (u.v)
4.      v.v  0  selanjutnya, v.v = 0 jika dan hanya jika v = 0
Bukti :
a.      Misalkan u =  dan v =   maka :
u . v =
                    =
                     = v.u                           
b.      (u + v)w =
                = ()
                = (
                =u.w + v.u
c.       (ku).v =  .
            =  .
            =
             =  k (u.v)
d.      Jelas bahwa v.v =
Selanjutnya, kesamaan  v.v =  = 0 berlaku jika dan hanya jika :
 

D.     Norma Dan Jarak Dalam Ruang Berdimensi –n Euclides
Misalkan u  dan v  adalah vektor-vektor Rn dimana kedua vektor itu dinyatakan dalam n kelompok bilangan-bilangan real  : =  dan                 =
jarak antara u dan v =

Untuk norma vektor u, adalah akar pangkat dari perkalian
u.u :  =
 contoh :
diketahui u = (1,-2,4,1) dan v  =(3,1,-5,0) tentukan norma  vektor v dan jarak kedua vektor tersebut?
Penyelesaian :
Norma vektor v
 
        
          
Jarak :
 
             
             
Jadi jika P = (a,b) dan Q =(c,d) dalam ruang Rn maka :
 dan   serta = . Dimana dan  adalah masing-masing panjang P dan Q serta   adalah jarak kedua titik seperti gambar dibawah in



a.       








    
                                                                                          (norma vektor)                                                
b.                                                                                                                                                          




                        
                                                                                                                                                          (panjang vektor)
Teorema berikut ini memberikan salah satu ketaksamaan paling penting dalam aljabar linear, yaitu ketaksamaan Cauchy-Scwarz
Teorema 2.3  (ketaksmaan Cauchy-Swarz dalam Rn).
Jika :
=  dan  =
Adalah vektor-vektor dalam Rn, maka
Atau dinyatakan dalam bentuk komponen-komponen,
(Dasar-Dasar Aljabar Linear, 238)
Sifat sifat dasar dari panjang dan jarak dalam ruang berdimensi-n euclides :
Teorema 2.4
Misalkan V suatu ruang vektor atas F ( real atau kompleks).
Suatu fungsi :V R disebut norm vektor jika untuk semua x, yV berlaku,
1.      0
2.       = 0 jika dan hanya jika u = 0
3.       = | c |  untuk semua c F
4.         +  (ketaksamaan segitiga)
Suatu fungsi yang memenuhi (1), (3) dan (4) tanpa perlu memenuhi (2) disebut
seminorm. Dalam hal ini kita dapat memandang seminorm sebagai perumuman dari
Teorema 2.5
Jika u,v, dan w adalah vektor-vektor dalam Rn dan k  adalah sembarang skalar maka:
1.     
2.       jika dan hanya jika u=v
3.       
4.       (ketaksamaan segitiga)
(Dasar-Dasar Aljabar Linear jilid 1,240)
Bukti 4
 
             =



teorema 2.6
Jika u dan   v adalah vektor-vektor dalam Rn dengan hasi kali dalam euclides, maka :
(Dasar-Dasar Aljabar Linear jilid 1,241)
Bukti
 
 
E.      Keortogonalan
Definisi
Dua vektor u dan v  dalam Rn disebut ortogonal jika u.v=0
(Dasar-Dasar aljabar Linear, 242)
Contoh :
Dalam ruang Euclides R4 vektor-vektor
Apakah vektor tersebut ortogonal?
Jawaban :
 
 
Jadi vektor tersebut  ortogonal
Teorema 2.7
(teorema pythagoras untuk Rn). Jika u dan v adalah vektor-vektor ortogonal dalam Rn dengan hasil kali dalam Euclides,maka :
(Dasar-dasar aljabar llinear,242)
F.       Notasi Notasi Alternatif Untuk Vektor Vektor Dalam Rn
Suatu vektor =  dalam Rn dapat juga ditulis dalam notasi matriks sebagai suatu matriks baris atau matriks kolom.




 atau
Hal ini benar karena operasi matriks
 +  =

Memberikan nilai yang sama dengan operasi vektor
  =
                 
Satu-satunya perbedaan adalah bentuk dimana vektor vektor tersebut di tulis.
G.     Sebuah Rumus Matriks untuk Perkalian Titik
Jika kita menggunakan notasi matriks kolom untuk vektor vektor
 dan                                                   
 
          
        
        
Jadi:
 
Contoh :
 dan
Maka :
 
Jika A adalah suatu matriks  maka berdasarkan persamaan   dan sifat sifat tranpos bahwa :
 
 


Rumus-rumus yang dihasilkan :
Contoh :
Maka :

Berdasarkan contoh diatas terbukti bahwa
H.     Sebuah Pandangan Perkalian Titik Mengenai Perkalian Matriks
Perkalian titik memberikan cara berpikir yang lain tentang perkalian matriks. Ingat bahwa jika  adalah suatu matriks dan
  adalah suatu matriks , maka entri ke-ij dari AB adalah:
Yang merupakan perkalian titik dari vektor A baris ke-i
Dan vektor B kolom ke j

Jadi, jika vektor vektor baris A adalah  dan  vektor vektor kolom B adalah  maka perkalian matriks  AB dapat dinyatakan sebagai :

Secara khusus, suatu sistem linear Ax=b dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian titik sebagai
=
Dengan  adalah vektor vektor baris dari A, dan  adalah entri entri b.
Contoh :
sistem
Bentuk perkalian titik


















BAB III
PENUTUP
A.     Kesimpulan
Kesimpulan dari makalah kami adalah :
1.      Himpunan semua ganda-n berurut disebut ruang berdimensi n dan dinyatakan dengan Rn.
2.      Untuk mencari norma dalam ruang berdimensi euclides yaitu :
u.u :  =
3.      Untuk mencari jarak dalam ruang berdimensi euclides yaitu :
4.      Vektor dapat dinyatakan dalam bentuk matriks
5.      Suatu sistem linear Ax=b dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian titik.
B.      Saran
Saran kami yaitu:
1.      Perbanyaklah referensi dalam pembuatan makalah  agar makalah kita tidak keliru
2.      Pergunakan waktu diskusi sebaik-baiknya.
3.      Jangan ribut pada saat berdiskusi.














DAFTAR PUSTAKA

Anton, Howard. 1991. Aljabar Linear Elementer Jilid 1. Jakarta: Erlangga
Anton, Howard. 2010. Dasar Dasar Aljabar Linear Jilid 1. Jakarta: Erlangga
D. Suryadi H.S dan Harini S. Mahmuni. 1990. Teori dan Soal Pendahuluan Aljabar Linear. Jakarta Timur : Gholia Indonesia
Kusumawati, Ririen, M.kom. 2009. Aljabar Linear & Matriks. Malang : UIN Malang
Leon, Steven J. 2001. Aljabar Linear Dan Aplikasinya Edisi 5. Jakarta : Erlangga
Mursita, Danang. 2010. Aljabar Linear. Bandung : Rekayasa Sains
Purwanto, Heri, ST., MM.,MT.,Gina Indriani, Ssi dan Erlina Dayanti, ST. 2005. Aljabar Linear. Jakarta : Ercontara Rajawali
Rasyad, Rasdihan. 2003. Aljabar untuk Umum. Jakarta : PT Gramedia Widiasarana Indonesia
Santosa, R. Gunawan. 2009. Aljabar Linear Dasar. Yogyakarta : Andi
Http :// file. Upi. Edu/.../NORM_VEKTOR_DAN_N0RM_MATRIKS.Pdf
http ://pksm.mercubuana.ac.id/new/.../files.../92016-13-429282315954.doc  
www.tofi.or.id/download_file/Ruang%20Vektor.ppt




Tidak ada komentar:

Poskan Komentar

 
hidup jangan di ambil pusing.....
keep smiling...