makalah aljabarku

BAB I

PENDAHULUAN

A.     Latar Belakang

Pada saat pertama kali ilmu vektor  sekitar abad ke-17, hanya dikenal vektor vektor R² dan R³ saja, tetapi dalam perkembangannya yakni menjelang abad ke-19, ternyata didapatkan permasalahan lebih kompleks sehingga dikembangkan vektor vektor di ruang berdimensi 4,5 atau secara umum merupakan vektor vektor di Rⁿ. Pada saat itu dikenal bahwa kaudrapel bilangan () dapat ditinjau sebagai titik pada ruang berdimensi 4, () kuinupel dapat ditinjau sebagai titik pada ruang berdimensi 5, dan seterusnya. Secara geometri memang kita hanya dapat  menggambarkan vektor vektor di R³. Untuk vektor vektor di R⁴ dan seterusnya belum bisa digambarkan secara geometris, tetapi dasar yang digunakan seperti operasi operasi vektor masih sama dengan operasi vektor pada R²  dan R³. Orang yang pertama kali mempelajari vektor Rⁿ adalah Euclides sehingga vektor vektor yang berada di Rⁿ dikenal sebagai vektor Euclides, sedangkan ruang vektornya  disebut ruang-n Euclides.

Pembahasan tentang ruang-ruang vektor akan menggenaralisasi konsep vektor lebih lanjut. Pada pembahasan ini kita akan menyusun satu himpunan aksioma yang disebut sebagai “vektor”. Vektor vektor yang digeneralisasi ini antara lain berbagai matriks dan fungsi. Pembahasan ini akan memberikan suatu cara yang sangat berguna untuk mengembangkan visualisasi geometrik kita dalam berbagai variasi soal matematika, dimana intiusi geometrik tidak dapat digunakan. Kita dapat memvisualisasikan vektor vektor pada R² dan R³ sebagai anak panah, sehingga kita dapat menggambar atau menyusun gambar gambar untuk membantu menyelesaikan soal. Karena aksioma aksioma yang digunakan untuk mendefinisikan vektor vektor jenis baru ini didasarkan pada sifat sifat dari vektor vektor pada R² dan R³, maka vektor vektor ini akan memiliki banyak sifat yab=ng telah kita ketahui. Oleh karena itu pembahasan makalah membahas tentang vektor dalam dimensi-n euclides agar kita dapat mengetahui bagaimana vektor yang seperti itu.

B.      Tujuan

Adapun tujuan kami dalam pembuatan makalah kami yaitu :

1.      Mahasiswa dapat mengetahui tentang vektor vektor dalam ruang berdimensi-n.

2.      Mahasiswa dapat mengetahui sifat sifat operasi vektor dalam ruang berdimensi-n.

3.      Mahasiswa dapat mengetahui tentang ruang berdimensi-n euclides.

4.      Mahasiswa dapat mengetahui norma dan jarak dalam ruang berdimensi-n euclies

5.      Mahasiswa dapat mengetahui tentang keortogonalan

6.      Mahasiswa dapat mengetahui tentang notasi-notasi alternatif untuk vektor-vektor dalam Rⁿ

7.      Mahasiswa dapat mengetahui rumus matriks untuk perkalian titik

8.      Mahasiswa dapat mengetahui hubungan perkalian matriks dengan perkalian titik.  

                                     

BAB II

PEMBAHASAN

A.     Vektor-Vektor Dalam Ruang Berdimensi-n

Definisi

“Bila n adalah bilangan bulat positif, maka ganda-n berurut adalah sederet n bilangan real (). Himpunan semua ganda-n berurut disebut ruang berdimensi-n dan dinyatakan dengan . “ (Dasar-dasar aljabar linear jilid 1, 233)

            Contoh :

      Untuk R¹ contohnya adalah bilangan 2,-2,0...

      Untuk R² contohnya adalah bilangan (2,1), (1,-1), (-1,6) (0,0)...

      Untuk R³ contohnya adalah bilangan (2,1,-4), (3,-5,7)...

      Untuk R⁴ contohnya adalah bilangan (2,1,2,6), (3,-1,2,9)...

Untuk R¹ sampai R ³ dapat digambarkan secara geometri, sedangkan n > 3 sulit dibayangkan dan  bahkan tidak mungkin untuk digambarkan karena keterbatasan dari ruang.

Definisi

“Dua vektor =  dan = di Rⁿ disebut sama jika

 Penjumlahan dua vektor , di Rⁿ didefinisikan sebagai berikut :

  =

                     

Perkalian sebuah skalar k  dengan sebuah vektor di Rⁿ didefinisikan sebagai :

 =

Vektor 0 dalam Rⁿ adalah semua komponennya adalah nol, yaitu

 = (0,0,0,...0)

Jika  di Rⁿ adalah sebuah vektor sembarang, maka :

=

(Aljabar linear dasar, 81)

B.      Sifat-Sifat Operasi Vektor Dalam Ruang Berdimensi-n

Teorema 2.1

Jika  =  =dan  = adalah vektor-vektor

pada Rⁿ dan k serta l adalah skalar, maka :

1.      u + v = v + u

2.      u + (v + w) = (u + v) + w

3.      0 + u = u + 0 = u

4.      u + (-u) = (-u) + u = 0

5.      k(lu)=(kl)u

6.      k(u+v) = ku + kv

7.      (k + l)u = ku + lu

8.      1.u = u

(Aljabar Linear & Matriks, 130-131)

Teorema diatas memungkinkan kita untuk memanipulasi vektor dalam Rⁿ tanpa menyatakan vektor-vektor tersebut dalam bentuk komponen-komponen. Misalnya, untuk menyelesaikan persamaan vektor x + u = v untuk x, kita dapat menambahkan –u pada kedua ruas dan melakukan hal berikut ini:

(x + u) +(-u) = v +(-u)

x + (u-u) = v-u

      x + 0 = v-u

            x = v-u

C.      Ruang Berdimensi-n Euclides

Definisi

“ jika =  dan  = di Rⁿ, maka perkalian dalam Euclid (perkalian titik) vektor  dan  didefinisikan sebagai berikut.

.  =

Catatan : perkalian dalam Euclid vektor  dan   sering juga disimbolkan dengan  sehingga .  =

 (Aljabar Linear Dasar, 82)

Contoh

Jika  = (-1,2,-1,0,1) dan  = (1,1,1,2,2) di R⁵, maka :

.  = (-1,2,-1,0,1) . ( 1,1,1,2,2)

         = (-1)(1) + (2)(1) + (-1)(1) + (0)(2) + (1)(2)

         =     -1 + 2+ -1 + 0 +2   

         = 2

            Ada  empat sifat aritmetika utama yang dari hasil kali dalam dalam Euclides  didaftarkan dalam teorem berikut :

Teorema 2.2

“ jika u,v, dan w  adalah vektor pada Rⁿ dan k adalah sembarang skalar maka :

1.      u . v = v.u

2.      (u + v)w = u.w + v.u

3.      (ku).v = k (u.v)

4.      v.v  0  selanjutnya, v.v = 0 jika dan hanya jika v = 0

Bukti :

a.      Misalkan u =  dan v =   maka :

u . v =

                    =

                     = v.u                           

b.      (u + v)w =

                = ()

                = (

                =u.w + v.u

c.       (ku).v =  .

            =  .

            =

             =  k (u.v)

d.      Jelas bahwa v.v =

Selanjutnya, kesamaan  v.v =  = 0 berlaku jika dan hanya jika :

 

D.     Norma Dan Jarak Dalam Ruang Berdimensi –n Euclides

Misalkan u  dan v  adalah vektor-vektor Rⁿ dimana kedua vektor itu dinyatakan dalam n kelompok bilangan-bilangan real  : =  dan                 =

jarak antara u dan v =

Untuk norma vektor u, adalah akar pangkat dari perkalian

u.u :  =

 contoh :

diketahui u = (1,-2,4,1) dan v  =(3,1,-5,0) tentukan norma  vektor v dan jarak kedua vektor tersebut?

Penyelesaian :

Norma vektor v

 

        

          

Jarak :

 

             

             

Jadi jika P = (a,b) dan Q =(c,d) dalam ruang Rⁿ maka :

 dan   serta = . Dimana dan  adalah masing-masing panjang P dan Q serta   adalah jarak kedua titik seperti gambar dibawah in

a.       

    

                                                                                          (norma vektor)                                                

b.                                                                                                                                                          

                        

                                                                                                                                                          (panjang vektor)

Teorema berikut ini memberikan salah satu ketaksamaan paling penting dalam aljabar linear, yaitu ketaksamaan Cauchy-Scwarz

Teorema 2.3  (ketaksmaan Cauchy-Swarz dalam Rⁿ).

Jika :

=  dan  =

Adalah vektor-vektor dalam Rⁿ, maka

Atau dinyatakan dalam bentuk komponen-komponen,

(Dasar-Dasar Aljabar Linear, 238)

Sifat sifat dasar dari panjang dan jarak dalam ruang berdimensi-n euclides :

Teorema 2.4

Misalkan V suatu ruang vektor atas F ( real atau kompleks).

Suatu fungsi • :V → R disebut norm vektor jika untuk semua x, y∈ V berlaku,

1.      ≥ 0

2.       = 0 jika dan hanya jika u = 0

3.       = | c |  untuk semua c∈ F

4.        ≤  +  (ketaksamaan segitiga)

Suatu fungsi yang memenuhi (1), (3) dan (4) tanpa perlu memenuhi (2) disebut

seminorm. Dalam hal ini kita dapat memandang seminorm sebagai perumuman dari

norm. (http://file.upi.edu/.../NORM_VEKTOR_DAN_NORM_MATRIKS.pdf)

Teorema 2.5

Jika u,v, dan w adalah vektor-vektor dalam Rⁿ dan k  adalah sembarang skalar maka:

1.     

2.       jika dan hanya jika u=v

3.       

4.       (ketaksamaan segitiga)

(Dasar-Dasar Aljabar Linear jilid 1,240)

Bukti 4

 

             =

teorema 2.6

Jika u dan   v adalah vektor-vektor dalam Rⁿ dengan hasi kali dalam euclides, maka :

(Dasar-Dasar Aljabar Linear jilid 1,241)

Bukti

 

 

E.      Keortogonalan

Definisi

Dua vektor u dan v  dalam Rⁿ disebut ortogonal jika u.v=0

(Dasar-Dasar aljabar Linear, 242)

Contoh :

Dalam ruang Euclides R⁴ vektor-vektor

Apakah vektor tersebut ortogonal?

Jawaban :

 

 

Jadi vektor tersebut  ortogonal

Teorema 2.7

(teorema pythagoras untuk Rⁿ). Jika u dan v adalah vektor-vektor ortogonal dalam Rⁿ dengan hasil kali dalam Euclides,maka :

(Dasar-dasar aljabar llinear,242)

F.       Notasi Notasi Alternatif Untuk Vektor Vektor Dalam Rⁿ

Suatu vektor =  dalam Rⁿ dapat juga ditulis dalam notasi matriks sebagai suatu matriks baris atau matriks kolom.

 atau

Hal ini benar karena operasi matriks

 +  =

Memberikan nilai yang sama dengan operasi vektor

  =

                 

Satu-satunya perbedaan adalah bentuk dimana vektor vektor tersebut di tulis.

G.     Sebuah Rumus Matriks untuk Perkalian Titik

Jika kita menggunakan notasi matriks kolom untuk vektor vektor

 dan                                                   

 

          

        

        

Jadi:

 

Contoh :

 dan

Maka :

 

Jika A adalah suatu matriks  maka berdasarkan persamaan   dan sifat sifat tranpos bahwa :

 

 

Rumus-rumus yang dihasilkan :

Contoh :

Maka :

Berdasarkan contoh diatas terbukti bahwa

H.     Sebuah Pandangan Perkalian Titik Mengenai Perkalian Matriks

Perkalian titik memberikan cara berpikir yang lain tentang perkalian matriks. Ingat bahwa jika  adalah suatu matriks dan

  adalah suatu matriks , maka entri ke-ij dari AB adalah:

Yang merupakan perkalian titik dari vektor A baris ke-i

Dan vektor B kolom ke j

Jadi, jika vektor vektor baris A adalah  dan  vektor vektor kolom B adalah  maka perkalian matriks  AB dapat dinyatakan sebagai :

Secara khusus, suatu sistem linear Ax=b dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian titik sebagai

=

Dengan  adalah vektor vektor baris dari A, dan  adalah entri entri b.

Contoh :

sistem

Bentuk perkalian titik

BAB III

PENUTUP

A.     Kesimpulan

Kesimpulan dari makalah kami adalah :

1.      Himpunan semua ganda-n berurut disebut ruang berdimensi n dan dinyatakan dengan Rⁿ.

2.      Untuk mencari norma dalam ruang berdimensi euclides yaitu :

u.u :  =

3.      Untuk mencari jarak dalam ruang berdimensi euclides yaitu :

4.      Vektor dapat dinyatakan dalam bentuk matriks

5.      Suatu sistem linear Ax=b dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian titik.

B.      Saran

Saran kami yaitu:

1.      Perbanyaklah referensi dalam pembuatan makalah  agar makalah kita tidak keliru

2.      Pergunakan waktu diskusi sebaik-baiknya.

3.      Jangan ribut pada saat berdiskusi.

DAFTAR PUSTAKA

Anton, Howard. 1991. Aljabar Linear Elementer Jilid 1. Jakarta: Erlangga

Anton, Howard. 2010. Dasar Dasar Aljabar Linear Jilid 1. Jakarta: Erlangga

D. Suryadi H.S dan Harini S. Mahmuni. 1990. Teori dan Soal Pendahuluan Aljabar Linear. Jakarta Timur : Gholia Indonesia

Kusumawati, Ririen, M.kom. 2009. Aljabar Linear & Matriks. Malang : UIN Malang

Leon, Steven J. 2001. Aljabar Linear Dan Aplikasinya Edisi 5. Jakarta : Erlangga

Mursita, Danang. 2010. Aljabar Linear. Bandung : Rekayasa Sains

Purwanto, Heri, ST., MM.,MT.,Gina Indriani, Ssi dan Erlina Dayanti, ST. 2005. Aljabar Linear. Jakarta : Ercontara Rajawali

Rasyad, Rasdihan. 2003. Aljabar untuk Umum. Jakarta : PT Gramedia Widiasarana Indonesia

Santosa, R. Gunawan. 2009. Aljabar Linear Dasar. Yogyakarta : Andi

Http :// file. Upi. Edu/.../NORM_VEKTOR_DAN_N0RM_MATRIKS.Pdf

http ://pksm.mercubuana.ac.id/new/.../files.../92016-13-429282315954.doc  

www.tofi.or.id/download_file/Ruang%20Vektor.ppt